Родился 7 февраля 1950 г. в Ленинграде (ныне — Санкт-Петербург). В 1974 г. окончил Ленинградскую государственную консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова как пианист (класс профессора Людмилы Уманской), в 1977 г. — как режиссер музыкального театра (класс доцента Маргариты Слуцкой). Дипломный спектакль — «Дон Паскуале» Гаэтано Доницетти в Государственном театре оперы и балета Белорусской ССР (ныне Большой театр Белоруссии).
С 1978 г. Юрий Александров в качестве режиссера-постановщика сотрудничал с Государственным академическим Мариинским театром. Среди его оперных спектаклей: «Колокольчик» и «Дон Паскуале» Гаэтано Доницетти, «История Кая и Герды» Сергея Баневича, «Дон Жуан» и «Свадьба Фигаро» Вольфганга Амадея Моцарта, «Мавра» Игоря Стравинского, «Мазепа» Петра Чайковского, «Семен Котко» Сергея Прокофьева, «Аида», «Дон Карлос» и «Отелло» Джузеппе Верди, «Нос» Дмитрия Шостаковича.
В 1987 г. Юрий Александров основал в Ленинграде Камерный музыкальный театр (в настоящее время — Камерный музыкальный театр «Санктъ-Петербургъ Опера») и возглавил его в качестве художественного руководителя. Поставил в нем спектакли: «Человеческий голос» Франсиса Пуленка, «Верую» Валерия Пигузова, «Борис Годунов» Модеста Мусоргского, «Прекрасная Елена» Жака Оффенбаха, «Песнь о любви и смерти корнета Кристофа Рильке» Зигфрида Маттуса, «Травиата» Джузеппе Верди, «Поругание Лукреции» Бенджамина Бриттена, «Не только любовь» Родиона Щедрина, «Сельская честь» Пьетро Масканьи.
В 2004 г. по инициативе Юрия Александрова была создана Ассоциация музыкальных театров России, которую артист возглавлял до 2014 г.
В 2011—2020 гг. являлся художественным руководителем и главным режиссером оперы Музыкального театра Республики Карелия (г. Петрозаводск). Среди его постановок: «Евгений Онегин» и «Пиковая дама» Петра Чайковского, «Кармен» Жоржа Бизе, «Мадам Баттерфляй» Джакомо Пуччини, «Севильский цирюльник» Джоаккино Россини, «Любовный напиток» Гаэтано Доницетти и оперетта Имре Кальмана «Мистер Икс».
В общей сложности Юрий Александров поставил более 250 спектаклей в оперных театрах России и зарубежных государств (в Белоруссии, Италии, Казахстане, Литве, Сербии, США, Турции). Они шли на престижных мировых сценах, в т. ч. в театрах «Ла Скала» (Милан, Италия) и «Метрополитен-Опера» (Нью-Йорк, США).
Является художественным руководителем Международного конкурса юных арфистов «Хрустальный ключ» (с 2012 г.) и Международного фестиваля камерной оперы (с 2016 г.).
Заслуженный деятель искусств РФ (1997). Народный артист РФ (2008).
Награжден орденами Дружбы (2003), Почета (2019), «За заслуги в культуре и искусстве» (2025). Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2016). Удостоен премии Правительства РФ в области культуры 2024 г. за постановку в Санкт-Петербургском театре музыкальной комедии мюзикла «Петр I» Фрэнка Уайлдхорна.
Лауреат российской театральной премии «Золотая маска» в категориях «Лучшая работа режиссера в опере» (2000, «Семен Котко») и «За выдающийся вклад в развитие театрального искусства» (2024).
